三角函數工具箱——函數、對稱與核心恆等式
0. 全貌
本堂課把角度轉換成函數。我們在單位圓上定義 $\sin,\cos,\tan,\csc,\sec,\cot$，整理象限符號規律，並組成整套恆等式工具箱。流程：
1）函數定義 → 2）週期與對稱 → 3）基本恆等式 → 4）和差公式 → 5）倍角/半角 → 6）積化和差。
1. 六個三角函數的定義
1.1 單位圓定義（主線）
令角 $\theta$ 位於標準位置，終邊與單位圓 $x^2+y^2=1$ 交於 $P(x,y)$。
$$\begin{aligned} \sin\theta &= y,\\ \cos\theta &= x,\\ \tan\theta &= \frac{y}{x} \quad (x \neq 0). \end{aligned}$$倒數函數：
$$\begin{aligned} \csc\theta &= \frac{1}{\sin\theta},\\ \sec\theta &= \frac{1}{\cos\theta},\\ \cot\theta &= \frac{1}{\tan\theta} = \frac{x}{y} \quad (y \neq 0). \end{aligned}$$定義域與值域
- $\sin\theta,\cos\theta\in[-1,1]$，對所有實數 $\theta$ 定義。
- $\tan\theta,\sec\theta$ 在 $\cos\theta=0$（奇數個 $\tfrac{\pi}{2}$）處無定義。
- $\cot\theta,\csc\theta$ 在 $\sin\theta=0$（整倍 $\pi$）處無定義。
直角三角形觀點（銳角 $\theta$）：若斜邊 $r$，對邊 $y$，鄰邊 $x$，則
$$\begin{aligned} \sin\theta &= \frac{y}{r},\\ \cos\theta &= \frac{x}{r},\\ \tan\theta &= \frac{y}{x}. \end{aligned}$$結合單位圓符號即可推廣至任意角。
1.2 象限符號（ASTC 規則）
四象限記為 QI、QII、QIII、QIV。
- QI $(0,\tfrac{\pi}{2})$：六個函數皆為正。
- QII $(\tfrac{\pi}{2},\pi)$：$\sin,\csc>0$，其餘為負。
- QIII $(\pi,\tfrac{3\pi}{2})$：$\tan,\cot>0$，其餘為負。
- QIV $(\tfrac{3\pi}{2},2\pi)$：$\cos,\sec>0$，其餘為負。
參考角 $\theta_{\text{ref}}\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ 方便計算，再依象限補上正負即可。
2. 週期與對稱（偶奇）
週期
$$\begin{aligned} \sin(\theta+2\pi) &= \sin\theta,\\ \cos(\theta+2\pi) &= \cos\theta,\\ \tan(\theta+\pi) &= \tan\theta. \end{aligned}$$因此：$\sin,\cos,\sec,\csc$ 的週期為 $2\pi$；$\tan,\cot$ 的週期為 $\pi$。
偶函數與奇函數
$$\begin{aligned} \cos(-\theta) &= \cos\theta &&(\text{偶}),\\ \sin(-\theta) &= -\sin\theta &&(\text{奇}),\\ \tan(-\theta) &= -\tan\theta &&(\text{奇}). \end{aligned}$$因此 $\sec$ 為偶函數；$\csc,\cot$ 為奇函數。
余函數（互余）關係
$$\begin{aligned} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) &= \cos\theta,\\ \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) &= \sin\theta,\\ \tan\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) &= \cot\theta, \end{aligned}$$倒數函數亦成立。
3. 基本恆等式鏈
3.1 畢氏恆等式
由 $x^2+y^2=1\Rightarrow \cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 推得
$$\begin{aligned} \sin^2\theta + \cos^2\theta &= 1,\\ 1 + \tan^2\theta &= \sec^2\theta,\\ 1 + \cot^2\theta &= \csc^2\theta. \end{aligned}$$3.2 商式與倒數恆等式
$$\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\\ \cot\theta &= \frac{\cos\theta}{\sin\theta},\\ \sec\theta &= \frac{1}{\cos\theta},\\ \csc\theta &= \frac{1}{\sin\theta}. \end{aligned}$$4. 和差公式（推導與實戰）
核心記憶組
$$\begin{aligned} \sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\ \pm\ \cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\ \mp\ \sin\alpha\sin\beta,\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}. \end{aligned}$$例題：$\sin\left(\tfrac{5\pi}{12}\right)$
取 $\alpha=\tfrac{\pi}{3},\beta=\tfrac{\pi}{4}$。代入並化簡，可得 $\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
陷阱提醒：$\tan$ 的和差公式分母 $1\mp\tan\alpha\tan\beta$ 常被忽視，寫前先檢查符號配對。
5. 倍角與半角
由和差公式可直接得到：
$$\begin{aligned} \sin(2\theta) &= 2\sin\theta\cos\theta,\\ \cos(2\theta) &= \cos^2\theta-\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1 = 1-2\sin^2\theta,\\ \tan(2\theta) &= \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}. \end{aligned}$$半角公式以 $\cos(2\theta)$ 為核心：
$$\begin{aligned} \sin^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1-\cos\theta}{2},\qquad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2},\\ \tan\frac{\theta}{2} &= \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}. \end{aligned}$$符號需依據所在象限判斷。
6. 積化和差與和差化積
把乘積轉成和差，可在積分或方程中降階：
$$\begin{aligned} \sin\alpha\sin\beta &= \tfrac{1}{2}\big[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\big],\\ \cos\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\big[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\big],\\ \sin\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\big[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\big]. \end{aligned}$$反向即可得到和差化積。
7. 練習建議
- 結合單位圓圖像，練習迅速判斷任意角的函數符號。
- 熟悉和差、倍角公式在化簡或解方程時的應用。
- 將恆等式用在證明題：逐步等價或把一端轉成另一端。
- 自製「速查表」，在題目中反覆使用以深化記憶。
本課的目標，是讓你擁有一套隨拿隨用的三角恆等式工具箱。接下來的三角方程、極限、傅立葉分析等主題都會倚賴這些基礎，請在練習中不斷複習與應用。