概率
Basic Concept
$A$, $B$: event(事件):
- $P(A)$: 事件A發生的概率;
- $P(A \cap B)$: 事件A和B同時發生的概率;
- $P(A \cup B)$: 事件A或B任意一個發生的概率.
容斥原理: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
互斥事件(mutuallu exclusive events): $A \cap B = \varnothing$, 即$P(A \cap B) = 0$.
獨立事件(independent events): 事件A和B獨立發生, 均不會對對方產生任何影響. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
互補事件(complementary events): $P(A’)=1-P(A)$
$P(A|B)$: 給定事件B發生, 事件A發生的概率. 需要注意的是: 若事件A, B相互獨立, 則$P(A|B)=P(A)$, 意味着事件B對A不會產生任何影響
Bayes’ Theorem:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
其實從Bayes’ Theorm 也能得出來剛纔的結論. 因爲當A, B事件獨立時, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, 約分之後可得$P(A|B)=P(A)$.
Bayes’ Theorm還可以寫成以下幾個形式:
$$P(A|B) \cdot P(B)= P(A \cap B)$$
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$
$$P(A|B)\cdot P(B)= P(B|A) \cdot P(A)$$
Combinations, Permutation, Arrangemts
- $n \choose r$: n個東西里面選r個可能的方式. 計算方式: ${n \choose r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
- $\frac{n!}{(n-r)!}$: 從n個不同的對象中選取r個對象的排列次數, 其中$n!$代表了n個對象的排序方式.
- $\frac{r!}{a_1! \cdot a_2! \cdot … \cdot a_k!}$:$r$對象的不同排列的數目, 其中$a_i$是相同的. 對象$i$與對象$j$不同.