微分方程
一階微分方程
- 如果微分方程是$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = Q(x)$，那麼解就是$y=\int Q(x) \mathrm{d}x$。
- 分離變量法。如果微分方程爲$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = f(x)g(y)$，則可以將其改寫爲$\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x = g(y) \mathrm{d}y$，然後對每條邊積分，即可得到解。
- 積分因子. 如果微分方程爲 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}+P(x)y=Q(x)y$, 那他就可以轉化爲 $$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} + e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ P(x)y = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ Q(x) $$ 通過每項都乘 $$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x}$$, 因此
$$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} + e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ P(x)y = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ Q(x) \ $$
然後使用積分的乘積法則, 則,
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} y) = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} Q(x) $$
二階微分方程
一般二階微分方程:
$$ a \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + b \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +cy = f(x)$$
- 二階常係數齊次線性微分方程: $$ a \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + b \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +cy = 0$$. 可以通過令$y=e^{kx}$, 使得方程變成 $$ak^2 e^{kx}+bke^{kx}+ce^{kx}=0$$ 我們知道 $x \neq 0$, 即 $$ak^2+bk+c$$ 然後可以通過這樣簡單的二次方程求的解,即:
- 如果二次方程有兩個不同的實數根, 則y的解爲 $y=Ae^{k_1t}+Be^{k_2t}$.
- 如果二次方程有兩個相同的實數根, 則y的解爲 $y=(A+Bx)e^{kt}$.
- 如果二次方程有兩個不同的虛數根, 形如 $k=\alpha+i \beta$, 則y的解爲 $y=(A \sin\beta x+B\cos\beta x)e^{\alpha x}$.
- 二階常係數非齊次線性微分方程: 通解是complementary function(餘函數, 即其二階常係數齊次線性微分方程)與非齊次方程特解的和. e.g.
- 如果 $f(x)$ 是一個$n$階多項式, 則可以猜測 $y = a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0$.
- 如果 $f(x)$ 包含 $e^{kx}$, 則可以猜測 $y=ce^kx$.
- 如果 $f(x)$ 包含 $\sin kx$ or $\cos kx$, 則可以猜測 $y = A \sin kx + B \cos kx$.
Coupled Differential Equations
方法1: 將已知的兩個微分方程求導，然後利用代入消元法計算出其中一個的通解（通常是一個二階常係數齊次線性微分方程）。再利用已知的代數關係求出另外一個的通解。需要注意的是，另外一個的通解不能使用剛纔的方式解決，因爲兩個解之間存在代數關係，如果直接利用代入消元法求解第二個解會導致二者之間的關係丟失。例: $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 4x-2y \quad (1) \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3x-y \quad (2)$$ 這兩個方程求導後可得 $$ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = 4 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \quad (3) \qquad \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} = 3 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \quad (4)$$ 從(1)中可得 $$2y = 4x - \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$$, 故 $$y = 2x - \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$$ 從(2)中可得 $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3x-y$$, 然後將它們帶入(3)可得 $$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} &= 4 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 2(3x-y) \\ &=4 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 2(3x-2x - \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}) \\ &= 4 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 6x + 4x - \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \\ &= 3 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} -2x \end{aligned}$$ 然後現在問題就變成了一個二階常係數齊次線性微分方程，只需要令 $x=e^{kt}$, 然後就可得 $x = Ae^{2t}+Be^t$, 其中 $A$, $B$ 均爲常數.
然後我們利用 x 和 y之間存在的關係, 即 $$\begin{aligned} y &=2x-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\ &=2(Ae^2t + Be^t) - \frac{1}{2} (2Ae^{2t} + Be^t) \\ &= Ae^{2t} + \frac{3}{2} Be^t \end{aligned}$$. 故解爲 $$ x=Ae^{2t} + Be^t \qquad y=Ae^{2t}+\frac{3}{2}e^t$$, 其中 $A$, $B$ 均爲常數.方法2: 利用矩陣, 即將兩個或多個微分方程變爲矩陣形式, 即 $$Y = {x(t) \choose y(t)}, \qquad \dot{Y} = {\dot{x}(t) \choose \dot{y}(t)}$$, 其中 $$\dot{Y} = MY$$, 矩陣$M$的特徵值爲 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots \lambda_n$, 以及其對應的特徵向量爲 $v_1, v_2, \cdots, v_n$, 其中n是矩陣M的特徵值個數, 則微分方程組的解爲 $$Y = \sum^{n}_{i=1} A_ie^tv_i$$. 這種方法的優勢是可以比較輕鬆的解決多元微分方程組. 例: $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 4x-2y \quad (1) \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3x-y \quad (2)$$, 讓 $$Y = {x(t) \choose y(t)}, \qquad \dot{Y} = {\dot{x}(t) \choose \dot{y}(t)}$$, 則 $$\dot{Y} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 &-1 \end{pmatrix}Y$$. 然後我們可以得出這個矩陣的特徵值和對應的特徵向量, 即對於 $\lambda = 2$, 其對應的特徵向量爲 $k{1 \choose 1}$, 並且對於 $\lambda = 1$,其對應的特稱向量爲$k{2 \choose 3}$. 故解爲 $$Y = Ae^{2t}{1 \choose 1} + Be^t{2 \choose 3}$$, 其中 $A$, $B$ 均爲常數, 並且如果我們將其展開, 可以得到與第一種方法同樣的解.