複數
Basic Concepts
定義: $i=\sqrt{-1}$
複數(Complex number): $a+bi$, 其中$a$爲實數部分，$bi$爲虛數部分. $a={\rm Re}(\mathbb{Z})$, $b={\rm Im}(\mathbb{Z})$
注意: $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$
也可以用向量的形式書寫, 如 $a \choose b$ (注: 這種寫法只在計算加減法的時候好用，其他運算比較麻煩)
運算:
加減法: $(a+bi)\pm (c+di)=(a+c)\pm(b+d)i$
乘法: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$
除法: 類似於分母有理化的方式, 即:
$$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$
模(modulus): $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. 其中: $$|z_1z_2|=|z_1||z_2|, \quad
|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$
複共軛(Complex conjugate): 對於複數$z=a+bi$, 其共軛爲 $\bar{z}=a-bi$ . 這兩個複數互爲共軛複數, 具有以下性質:
$$ z \cdot \bar{z} = a^2+b^2 = |z|^2$$
輻角(Argument): 在複平面上, 複數所對應的向量和正實數軸所成的有向角, 且永遠爲正. 其中, $${\rm arg}(z_1z_2)={\rm arg}(z_1){\rm arg}(z_2), \quad {\rm arg}(\frac{z_1}{z_2})={\rm arg}(z_1)-{\rm arg}(z_2)$$
其他複數表達形式:
- 極座標形式(Polar form): $z=r \cos\theta + i r\sin\theta$, 其中$\theta$是輔角(argument), r是複數的模(modulus).
- 利用歐拉公式, 可以轉化爲指數形式 $z=re^{i\theta}$. 這種形式在計算複數的乘除法比較方便, 即 $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.
Loci (軌跡)
- $|z|=r$: 以原點爲圓心，以r爲半徑的圓.
- $|z-c|=r$: 以c爲圓心，以r爲半徑的圓. 其中c爲複數
- $|z−a| = |z−b|$: 複數a，b連線的垂直平分線.
- ${\rm arg}(z) = \theta$: 以原點爲起點, 與正x軸角度爲$\theta$的一條射線.
- ${\rm arg}(z-c) = \theta$: 以c爲起點, 與水平方向夾角爲$\theta$的一條射線.
- ${\rm arg}(\frac{z-a}{z-b})=\alpha$: 過a和b, 且弧${ab}$所對應的圓周角爲$\alpha$的圓.
Transformation
其實只需要當作向量就可以了, 如:
- $z\mapsto z+a$: 以複數a的方式平移.
- $z\mapsto \lambda z$: 擴大$\lambda$倍, 其中$\lambda$爲實數.
- $z \mapsto z(\cos \theta + i\sin\theta)$: 逆時針旋轉$\theta$度.