《關於反對稱矩陣的跡》學習筆記
這篇文章主要研究了反對稱矩陣的跡的一些性質和不等式。反對稱矩陣是指轉置等於負的矩陣，它在矩陣理論和實際應用中都有重要的意義。跡是指矩陣的主對角線元素之和，它是矩陣的一個重要的數值特徵，在許多領域中都有廣泛的應用。
文章首先給出了反對稱矩陣、Hermite矩陣和跡的定義，以及一些基本的引理。然後，文章給出了七個定理，分別討論了反對稱矩陣的跡與自身、可逆性、轉置、乘積、特徵值等方面的關係。最後，文章利用虛數單位將實反對稱矩陣與Hermite矩陣聯繫起來，給出了實反對稱矩陣與Hermite矩陣的跡的幾個不等式。
下面我們分別介紹每個定理及其證明過程和解釋。
定理1：設$A$是$n$階方陣，那麼：
（1）若$A$是反對稱矩陣，則$\mathrm{tr}A=0$；
（2）若$A$是反對稱矩陣且可逆，則$\mathrm{tr}A^{-1}=0$；
（3）$\mathrm{tr}(A-A^T)=0$。
證明：由定義1和定義2，易得（1）；容易驗證，若$A$是反對稱矩陣且可逆，則$A$的逆矩陣也是反對稱矩陣，由（1）知（2）成立；對於任意$n$階矩陣$A$，$A-A^T$顯然是反對稱矩陣，由（1）可得：
$$
\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}(A-A^T)=0.
$$
解釋：這個定理說明了反對稱矩陣的跡必爲零，無論是否可逆。這是因爲反對稱矩陣的主對角線元素都爲零，而跡就是主對角線元素之和。另外，這個定理還說明了任意方陣減去它的轉置後得到的也是一個反對稱矩陣，其跡也爲零。
定理2：設$A$是$n$階反對稱矩陣，則對任意的$n$階方陣$P$，有$\mathrm{tr}(A^TAP)=\mathrm{tr}(PAP^T)=0$。
證明：因爲$A$是$n$階反對稱矩陣，即$A^T=-A$，所以
$$
(P^TAP)^T=P^TA^T(P^T)^T=P^T(-A)P=-P^TAP,
$$
即$P^TAP$是反對稱矩陣，同理$PAP^T$也是反對稱矩陣，由定理1得
$$
\mathrm{tr}(P^TAP)=\mathrm{tr}(PAP^T)=0.
$$
解釋：這個定理說明了反對稱矩陣與任意方陣相乘後再轉置相乘得到的仍然是一個反對稱矩陣，其跡爲零。這可以看作是一種不變性或保持性質。
定理3：設$A,B\in C^{n\times n}$，其中有一爲對稱矩陣，另一爲反對稱矩陣，則$\mathrm{tr}AB=0$。
證明：不妨設
$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, $$
$$B=\begin{pmatrix} 0&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ -b_{12}&0&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -b_{1n}&-b_{2n}&\cdots&0 \end{pmatrix}$$
且$A^T=A,B^T=-B$,則
$$ AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{12}-a_{12}b_{12}&a_{11}b_{13}-a_{13}b_{12}&\cdots&a_{11}b_{1n}-a_{1n}b_{12}\\ -a_{11}b_{12}+a_{12}b_{11}&-a_{11}b_{13}+a_{13}b_{11}&\cdots&-a_{11}b_{1n}+a_{1n}b_{11}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{11}b_{21}+a_{21}b_{11}&-a_{11}b_{31}+a_{31}b_{11}&\cdots&-a_{11}b_{n1}+a_{n1}b_{11} \end{pmatrix}.$$
記 $C=AB$,則
$$
\mathrm{tr}AB=\mathrm{tr}C=\sum^n_i=1c_ii=\sum^n_i=1(\sum^n_j=1 a_ij b_ji)=0.
$$
解釋：這個定理說明了一個方陣與它的轉置相等或相差一個負號時，它們相乘後得到的方陣的跡爲零。這可以看作是一種正交性或互補性質。
定理4：設 $A,B,C $都是 $n $ 階反對稱矩陣，則
$$\mathrm{tr}(ABC)= \mathrm{tr}(BCA)= \mathrm{tr}(CAB)=- \mathrm{tr}(CBA)=- \mathrm{tr}(BAC)=- \mathrm{tr}(ACB)$$
證明：因爲 $A,B,C $都是 $n $ 階反對稱矩陣，即 $A^T=- A,B^T=- B,C^T=-C $。
$$
\mathrm{tr}(ABC)= \mathrm{tr}(ABC)^T= \mathrm{tr}(C^TB^TA^T)= \mathrm{tr}[(-C)(-B)(-A)]= \mathrm{tr}{(-CBA)}= - \mathrm{tr}{(CBA)}.
$$
顯然可得
$$
\mathrm{tr}(ABC)= \mathrm{tr}(BCA)= \mathrm{tr}(CAB),
$$
$$
\mathrm{tr}(CBA)= \mathrm{tr}(BAC)= \mathrm{tr}(ACB).
$$
所以，
$$
\mathrm{tr}(ABC)= \mathrm{tr}(BCA)= \mathrm{tr}(CAB)=- \mathrm{tr}(CBA)=- \mathrm{tr}(BAC)=- \mathrm{tr}(ACB).
$$
解釋：這個定理說明了三個反對稱矩陣相乘後得到的方陣的跡與它們相乘的順序有關。當它們按順時針或逆時針方向循環移動時，它們相乘後得到的方陣的跡不變；當它們交換其中兩個時，它們相乘後得到的方陣的跡的符號相反。這可以看作是一種循環性或交換性質。
定理5：設$A,B$都是$n$階反對稱矩陣，則$\mathrm{tr}(AB-BA)=0$。
證明：由定理3，得
$$
\mathrm{tr}(AB-BA)=\mathrm{tr}AB-\mathrm{tr}BA=0-0=0.
$$
解釋：這個定理說明了兩個反對稱矩陣相乘後再相減得到的方陣的跡爲零。這可以看作是一種對稱性或平衡性質。
定理6：設$A$是$n$階反對稱矩陣，則$A$的特徵值都是純虛數或零。
證明：設$\lambda$是$A$的一個特徵值，$\alpha$是對應的特徵向量，即
$
A\alpha=\lambda\alpha.
$
兩邊取共軛轉置，得
$$
(A\alpha)^H=\lambda^H\alpha^H,
$$
即
$$
\alpha^HA^H=\lambda^H\alpha^H.
$$
因爲$A$是反對稱矩陣，即$A^T=-A$，所以
$$
\alpha^H(-A)=\lambda^H\alpha^H,
$$
即
$$
-A\alpha^H=\lambda^H\alpha^H.
$$
將上式與原式相乘，得
$$
-A^2(\alpha\alpha^H)=\lambda\lambda^H(\alpha\alpha^H).
$$
因爲$\alpha\neq 0$，所以$\alpha\alpha^H\neq 0$，從而可得
$$
-A^2=\lambda\lambda^HI_n,
$$
即
$$
A^2=-\lambda\lambda^HI_n.
$$
取跡，得
$$
\mathrm{tr}(A^2)=-n\lambda\lambda^H.
$$
由引理4，得
$$
\mathrm{tr}(A^2)=-2n(\mathrm{tr}A)^2=0,
$$
所以$\lambda\lambda^H=0$，即$\lambda=0$或$\lambda$是純虛數。
解釋：這個定理說明了反對稱矩陣的特徵值都是純虛數或零。這是因爲反對稱矩陣與它的轉置相差一個負號，所以它們的特徵值也要滿足這樣的關係，即$\lambda=-\lambda^H$，從而只能是純虛數或零。
(注：在文中出現的$A^H$是指$A$的共軛轉置，即$A^H=\bar{A}^T$)
定理7：設 $A,B $都是 $n $ 階反對稱矩陣，則 $\mathrm{tr}(AB) \leqslant 0 $。
證明：由定理6，知 $A,B $的特徵值都是純虛數或零。設 $\{\lambda_i\}_{i=1}^{n}$
是 $A $ 的特徵值集合， $\{\mu_j \}_{j=1}^{n} $ 是 $B $ 的特徵值集合，則有
$$ \begin{aligned}
& \mathrm{tr}(AB) = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\langle Ae_i,Be_j\rangle \\
& = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\langle \lambda_i e_i,\mu_j e_j\rangle \\
& = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\lambda_i \mu_j \langle e_i,e_j\rangle \\
& = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\lambda_i \mu_j \delta_{ij} \\
& = \sum^n_{i=1}\lambda_i \mu_i \\
& = \sum^n_{i=1}(-a_ib_i) \\
& \leqslant 0,
\end{aligned}
$$
其中$a_i,b_i$分別是$\lambda_i,\mu_i$的虛部，$\delta_{ij}$是克羅內克符號，$\langle e_i,e_j\rangle$是向量內積。
解釋：這個定理說明了兩個反對稱矩陣相乘後得到的方陣的跡不大於零。這是因爲反對稱矩陣的特徵值都是純虛數或零，所以它們相乘後得到的方陣的特徵值都是負實數或零，而跡就是特徵值之和。