基礎——弧度量度、標準位置與單位圓
0. 為什麼從「角度量」開始？
在三角學中，一切皆建基於「旋轉」——射線繞點旋轉的概念。要計算長度、面積，乃至之後乾淨地定義正弦/餘弦，就得先有自然的角度單位。度數在日常生活很常見，但弧度才是讓幾何與微積分「順理成章」的單位，它把角度直接連結到弧長。本講會形式化這個聯繫，並準備第一章其餘內容所需的基礎工具。
1. 弧度：角度的自然單位
1.1 中心角與弧長
取一個半徑為 $r$ 的圓，考慮一個中心角 $\theta$（在圓心測量）。該角所對應的弧長為 $s$。弧度被定義為弧長與半徑的比值：
$$
\boxed{\ \theta=\dfrac{s}{r}\ }\quad\text{（弧度）}。
$$
為什麼優雅？ 沒有額外刻度——單位直接「寫」在幾何裡。若 $r=1$（亦即單位圓），便有 $\theta=s$：角度就是弧長。這種一對一的關係正是弧度不可或缺的原因。
量綱檢查。 $s$、$r$ 都具長度單位，因此 $\theta$ 無量綱。實際書寫時仍會標註 “rad” 以提醒所用單位。
1.2 一周角與弧度-度數橋梁
一周的弧長等於整個圓周 $2\pi r$。代入 $\theta=s/r$ 得
$$
\text{一周角}=2\pi\ \text{弧度}。
$$
由於一周亦是 $360^\circ$，便可推得換算：
$$
\boxed{\ 180^\circ=\pi\ \text{rad}\ }\quad\Longleftrightarrow\quad
\boxed{\ 1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad},\ \ 1\ \text{rad}=\frac{180}{\pi}^\circ\ (\approx57.3^\circ)}。
$$
需要熟記的小表。
$$
\begin{array}{c|cccccccccc}
\text{度數} & 0^\circ&30^\circ&45^\circ&60^\circ&90^\circ&120^\circ&135^\circ&150^\circ&180^\circ&360^\circ\\hline
\text{弧度} & 0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\frac{2\pi}{3}&\frac{3\pi}{4}&\frac{5\pi}{6}&\pi&2\pi
\end{array}
$$
技巧提示。 度數 $\to$ 弧度：乘 $\pi/180$。弧度 $\to$ 度數：乘 $180/\pi$。記得把分數約成最簡，以利後續在圓上定位。
2. 標準位置與符號約定
2.1 定義（標準位置）
若角的頂點在原點，始邊落在正 $x$ 軸，便稱該角在標準位置。逆時針旋轉為正角，順時針旋轉為負角。
- 例：$+\tfrac{\pi}{3}$ 表示逆時針 $60^\circ$；$-\tfrac{\pi}{2}$ 表示順時針 $90^\circ$。
不只一周。 角度沒有上限：$\theta=5\pi$（兩周半）、$\theta=-9\pi/4$（順時針超過兩周）都常見。除非另有說明，本課程預設使用弧度。
2.2 同終邊角與模 $2\pi$ 化簡
若兩角在標準位置具有相同的終邊，就稱為同終邊角。這等同於它們相差 $2\pi$ 的整數倍：
$$
\theta \ \text{與}\ \theta+2\pi k\quad (k\in\mathbb Z)\ \text{同終邊}。
$$
因此我們常做角度化簡：給定任意 $\theta$，透過加減 $2\pi$ 可以得到落在主值區間 $(-\pi,\pi]$ 或 $[0,2\pi)$ 的等效角。
- 例：將 $\theta=\dfrac{29\pi}{6}$ 化到 $[0,2\pi)$。
$$
\frac{29\pi}{6}-2\pi=\frac{29\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{17\pi}{6}>2\pi,\quad
\frac{17\pi}{6}-2\pi=\frac{17\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\in[0,2\pi)。
$$
故 $\dfrac{29\pi}{6}$ 同終邊於 $\dfrac{5\pi}{6}$。
3. 弧長與扇形面積
當中心角 $\theta$ 以弧度計，對應弧長為
$$
\boxed{\ s=r\theta\ } \qquad(\theta\ 必須用弧度)
$$
對應的扇形（披薩片）面積為
$$
\boxed{\ A=\tfrac12 r^2\theta\ } \qquad(\theta\ 必須用弧度)
$$
其中 $s$ 與 $r$ 呈線性關係，$A$ 與 $r$ 呈平方關係，與量綱推理一致。
推導（扇形面積）。 整圓面積為 $\pi r^2$，對應角度 $2\pi$。比例得
$$
\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{\theta}{2\pi},\pi r^2=\frac12 r^2\theta.
$$
單位圓觀點。 當 $r=1$ 時退化為：
$$
s=\theta,\qquad A=\tfrac12\theta.
$$
因此在單位圓上，角度 $\theta$ 本身就是弧長；扇形面積等於「角度的一半」。
4. 度與弧度的實務對照
黃金法則。 只要使用 $s=r\theta$ 或 $A=\tfrac12 r^2\theta$，$\theta$ 必須是弧度。若題目給的是度數，務必先轉換。
- 正確： $s = 10\cdot\big(60^\circ\cdot \tfrac{\pi}{180}\big)=10\cdot\tfrac{\pi}{3}$。
- 錯誤： $s = 10\cdot 60$（把 $60^\circ$ 當成純數 60，少了 $\pi/180$ 的因子）。
心算基準。
- $30^\circ=\pi/6\approx 0.524$ rad
- $45^\circ=\pi/4\approx 0.785$ rad
- $60^\circ=\pi/3\approx 1.047$ rad
- $90^\circ=\pi/2\approx 1.571$ rad
可用來檢查數值是否合理。
5. 範例（逐步解）
例 1 —— 角度與弧度互換
(a) $315^\circ$ 轉成弧度。
乘上 $\pi/180$：
$$
315^\circ=\frac{315\pi}{180}=\frac{7\pi}{4}。
$$
(b) $-\dfrac{11\pi}{6}$ 轉成度數。
乘上 $180/\pi$：
$$
-\frac{11\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi}=-\frac{11\cdot 180}{6}=-330^\circ。
$$
(c) 將 $\dfrac{23\pi}{3}$ 化到 $[0,2\pi)$（並給出度數）。
多次減去 $2\pi=\dfrac{6\pi}{3}$：
$$
\frac{23\pi}{3}-\frac{18\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\in[0,2\pi)。
$$
換成度數為 $\frac{5\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi}=300^\circ$。
例 2 —— 弧長與扇形面積
半徑 $r=12\ \mathrm{cm}$ 的圓，求 $\theta=150^\circ$ 所對應的弧長 $s$ 與扇形面積 $A$。
- 先轉成弧度：$150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}$。
- 弧長：$s=r\theta=12\cdot\dfrac{5\pi}{6}=10\pi\ \mathrm{cm}$。
- 扇形面積：$A=\tfrac12 r^2\theta=\tfrac12\cdot 144\cdot \dfrac{5\pi}{6}=12\cdot \dfrac{5\pi}{6}=10\pi\ \mathrm{cm}^2$。
注意：此例中 $s$ 與 $A$ 恰好同為 $10\pi$（單位不同），這不是通則，只是因為 $r=12$、$\theta=5\pi/6$ 讓 $r\theta$ 與 $\tfrac12 r^2\theta$ 數值一致。
例 3 —— 負角與大角的標準位置
繪出 $\theta=-\dfrac{7\pi}{4}$ 與 $\theta=\dfrac{19\pi}{6}$ 的標準位置，並找出落在 $[0,2\pi)$ 的同終邊角。
對 $\theta=-\dfrac{7\pi}{4}$：加一次 $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$：
$$
-\frac{7\pi}{4}+2\pi=\frac{\pi}{4}\quad(\text{位於 }[0,2\pi))。
$$
終邊落在 $\pi/4$（第一象限）。繪圖時須自正 $x$ 軸向順時針旋轉 $45^\circ$ 以對應原本負角。對 $\theta=\dfrac{19\pi}{6}$：減掉 $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$：
$$
\frac{19\pi}{6}-2\pi=\frac{7\pi}{6}\quad(\text{位於 }[0,2\pi))。
$$
即 $210^\circ$，終邊在第三象限。
例 4 —— 單位圓詮釋
令 $r=1$、$\theta=\dfrac{3\pi}{2}$。
- 單位圓上的弧長：$s=\theta=\dfrac{3\pi}{2}$。
- 扇形面積：$A=\tfrac12\theta=\dfrac{3\pi}{4}$。
詮釋：$270^\circ$ 覆蓋整個圓的四分之三，因此面積為 $ \tfrac{3}{4}\cdot \pi(1)^2 = \tfrac{3\pi}{4}$，與 $A=\tfrac12\theta$ 相符。