數列與它們的極限
數列與它們的極限——溫柔且嚴謹的起點
學習數列在數學中至關重要。本文將循序漸進地探討數列的定義、極限的直觀理解、四個範例模型、算術與幾何數列（附明確公式），以及線性遞推關係式 $x_{n+1}=r x_n + d$。
1. 什麼是數列？
一個 實數數列 ${x_n}$ 是一個有序列表
$$ x_1,,x_2,,x_3,,\ldots,,x_n,,\ldots $$
它有起點（存在第一項），卻沒有終點（無限延伸）。符號 $x_n$ 表示第 $n$ 項。
記號約定。 我們常用大括號書寫數列：
$$
\lbrace x_n \rbrace,\quad \lbrace x_n \rbrace_{n=1}^{\infty},\quad \lbrace x_n \rbrace_{n\in\mathbb{N}}.
$$
雖然外觀像集合，但數列並非集合：順序有別，允許重複（例如 $1,1,1,\dots$ 或 $1,2,1,2,\dots$）。
極限的核心想法。 討論極限時，我們關心數列的 尾端：即 $n$ 很大 時各項的表現。開頭可以「天馬行空」；極限只讀故事的「結局」。
2. 四個模型示例
原頁提供四個例子，我們一一拆解，如同迷你課堂。
2.1 $x_n = n$ —— 不斷上行
數列為 $1,2,3,4,5,\dots$。每一步增加 1。直覺與形式化皆指出項值無上界：
$$ \lim_{n\to\infty} n = +\infty. $$
這 並不 代表極限是實數，而是 沒有有限極限。我們說它 **發散到 $+\infty$**。
2.2 $x_n = (-1)^n$ —— 純粹振盪
數列為 $-1,1,-1,1,\ldots$。在兩個值之間無限跳動，從未靠近單一數值，因此 不收斂，我們稱它 振盪。
2.3 $x_n = 2025$ —— 恬靜的常數列
數列為 $2025,2025,2025,\ldots$。每項皆為 $2025$，這是最簡單的收斂情境：
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = 2025.
$$
無論往後走多遠，你都已經在目的地。
2.4 $x_n = \dfrac{1}{n+1}$ —— 正值且趨近於零
數列為
$$
\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots,\ \frac{1}{n+1},\ \ldots
$$
每一項都 為正，且比前一項 更小。在數線上描點，可以看到它們從右側愈來愈逼近 0。雖然 沒有任何有限的 $n$ 使 $x_n=0$，但明顯 趨向 0：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0.
$$
觀察（來自原圖）：每項都不為零，但只要往後取足夠多項，與 0 的距離就能任意小。這正是極限的精神。
3. 收斂：「想要多接近就多接近」
原筆記用一句話精準抓住直覺：
當 $n$ 足夠大 時，若 $x_n$ 能 想要多接近就多接近 某個數 $a$，則數列 ${x_n}$ 收斂 到 $a$。
我們再細緻拆解：
- 「想要多接近就多接近」：你先選一個容差 $\varepsilon>0$（例如 $0.1$ 或 $10^{-6}$）。我必須找到一個階段，使該階段之後的所有項都與 $a$ 的距離小於 $\varepsilon$。
- 「$n$ 足夠大」：存在一個指標 $N$，對所有 $n\ge N$，都有 $|x_n-a|<\varepsilon$。
我們寫作
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = a
\quad \text{或} \quad
x_n \longrightarrow a \quad (n\to\infty).
$$
重要提醒（原文亦提）：只看 尾端。改動有限多個前項 不會 影響極限。極限關心的是故事的後段，而非開場。
4. 等差數列（公差固定）
定義（原頁）：若存在常數 $d$，使得
$$
x_{n+1} - x_n = d \quad \text{對所有 } n,
$$
則 ${x_n}$ 是 等差數列，常數 $d$ 稱為 公差。
推導顯式公式。 從首項 $x_1$ 出發，每次加上 $d$：
$$
x_2 = x_1 + d,\qquad
x_3 = x_2 + d = x_1 + 2d,\qquad
\ldots,\qquad
x_n = x_1 + (n-1)d.
$$
例子（原頁）
$$
{19,,12,,5,,-2,,-9,\ldots}
$$
此時 $x_1=19$、$d=-7$，因此
$$
x_n = 19 + (n-1)(-7) = 26 - 7n.
$$
檢查前幾項：
$$
x_1 = 26-7=19,\
x_2 = 26-14=12,\
x_3 = 26-21=5,\
x_4 = 26-28=-2.
$$
長期行為。
- 若 $d>0$：$x_n\to +\infty$。
- 若 $d<0$：$x_n\to -\infty$。
- 若 $d=0$：數列恆定，因而收斂。
重點。 除了平凡情形 $d=0$，等差數列不會收斂到有限值；它們會線性地往某個方向遠離。
5. 等比數列（公比固定）
定義（原頁）：若存在常數 $r$，使得
$$
x_{n+1} = r,x_n \quad \text{對所有 } n,
$$
則 ${x_n}$ 為 等比數列，$r$ 稱為 公比。
推導顯式公式。 每一步乘以 $r$，因此
$$
x_2 = r x_1,\quad
x_3 = r x_2 = r^2 x_1,\quad
\ldots,\quad
x_n = x_1, r^{,n-1}.
$$
例子（原頁）
$$
{12,,-6,,3,,-\tfrac{3}{2},,\tfrac{3}{4},\ldots}
$$
這裡 $x_1=12$、$r=-\tfrac{1}{2}$，所以
$$
x_n = 12\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}
= 12,\frac{(-1)^{n-1}}{2^{,n-1}}.
$$
量級每步減半，符號交錯。
長期行為。
- 若 $|r|<1$：$r^{,n-1}\to 0$，因此 $x_n\to 0$。
- 若 $|r|>1$：量值爆炸，沒有有限極限。
- 若 $r=1$：恆等於常數。
- 若 $r=-1$：在兩個值間振盪，仍屬發散。
重點。 對非零等比數列而言，收斂與否由 單一判準 決定：$|r|<1$。
6. 一階線性遞推：$x_{n+1}=r x_n + d$（$r\neq 1$）
原頁以「連展數步＋辨識幾何級數」推導閉式公式，我們照樣重現。
首先
$$
x_n = r x_{n-1} + d. \tag{1}
$$
同樣展開 $x_{n-1}$：
$$
\begin{aligned}
x_n
&= r(r x_{n-2} + d) + d \
&= r^2 x_{n-2} + d r + d.
\end{aligned}\tag{2}
$$
再深入一步：
$$
\begin{aligned}
x_n
&= r^2(r x_{n-3} + d) + d r + d \
&= r^3 x_{n-3} + d r^2 + d r + d.
\end{aligned}\tag{3}
$$
重複 $k$ 次後模式立現：
$$
x_n = r^{k},x_{n-k} + d(1+r+r^2+\cdots+r^{k-1}). \tag{4}
$$
令 $k=n$ 回到初始值 $x_0$：
$$
x_n = r^{n} x_0 + d(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}). \tag{5}
$$
當 $r\neq 1$ 時，有限幾何和為
$$
1+r+\cdots+r^{n-1} = \frac{r^{n}-1}{r-1}.
$$
因此得到 閉式
$$
\boxed{x_n = r^{n} x_0 + d\frac{r^{n}-1}{r-1}}\qquad (r\neq 1).
$$
特例 $r=1$。 這時遞推變成 $x_{n+1}=x_n+d$，即等差數列，$x_n=x_0+nd$。
6.1 如何解讀公式
可以把結果視為兩個效應：
- 齊次部分 $x_{n+1}=r x_n$ 產生 $x_n^{(h)}=C,r^{n}$。
- 常數輸入 $+d$ 累積成幾何級數 $d(1+r+\cdots+r^{n-1})$。
將兩者相加即得完整解。$r^n$ 決定收縮或擴張，幾何級數決定長期偏移，兩者共同塑造遠期行為。
6.2 由公式判讀極限
- 若 $|r|<1$：$r^{n}\to 0$ 且 $\dfrac{r^{n}-1}{r-1}\to \dfrac{1}{1-r}$，故
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{d}{1-r}.
$$
這給出 穩定平衡點 $L=\dfrac{d}{1-r}$。 - 若 $|r|>1$：$r^{n} x_0$ 通常主導，使數列發散（除非恰與第二項抵消）。
- 若 $r=-1$：視 $x_0$ 與 $d$ 而定可能振盪；雖然幾何求和公式形式上假設 $r\neq 1$，閉式仍能協助討論實際數值。
7. 辨識模式與判定極限——教師角度的流程
遇到新數列時，可依下列四步：
- 辨識模式。
看看它是否等差（公差固定）、等比（公比固定），或是一階線性遞推 $x_{n+1}=r x_n + d$。若都不是，是否像 $\frac{1}{n+1}$ 那樣明顯趨於 0？ - 寫出顯式公式。
- 等差：$x_n = x_1 + (n-1)d$；
- 等比：$x_n = x_1 r^{,n-1}$；
- 線性遞推：$x_n = r^n x_0 + d\frac{r^n-1}{r-1}$（$r\neq 1$）；若 $r=1$ 則 $x_n=x_0+nd$。
- 分析尾端。
觀察當 $n$ 變大時會成長、衰減、振盪或穩定在哪裡。 - 清楚陳述結論。
使用精確語言說明“收斂到……”“發散到 $+\infty$”或“因振盪發散”，並附上一句基於模式的理由（例如 “$|r|<1\Rightarrow r^n\to 0$”）。
8. 例題（呼應原頁並略做延伸）
例 A —— 基本四例分類
- $x_n=n$：發散 到 $+\infty$。
- $x_n=(-1)^n$：發散，因為振盪。
- $x_n=2025$：收斂 到 $2025$。
- $x_n=\dfrac{1}{n+1}$：收斂 到 $0$。
對 (4) 的「想要多接近就多接近」證明。
給定 $\varepsilon>0$，選擇 $N$ 使 $N+1>\frac{1}{\varepsilon}$。則對所有 $n\ge N$，
$$
\left|\frac{1}{n+1}-0\right|=\frac{1}{n+1}<\varepsilon.
$$
例 B —— 原頁的等差數列
給定 ${19,12,5,-2,-9,\ldots}$，$x_1=19$、$d=-7$，
$$
x_n = 26 - 7n.
$$
行為： 發散到 $-\infty$。除非 $d=0$，等差數列不會有有限極限。
例 C —— 原頁的等比數列
給定 ${12,-6,3,-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{4},\ldots}$，$x_1=12$、$r=-\tfrac{1}{2}$，
$$
x_n = 12\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}.
$$
行為： 因為 $|r|=\tfrac{1}{2}<1$，所以 $x_n\to 0$。
例 D —— 遞推的運作
解 $x_{n+1}=\tfrac{1}{2}x_n+6$，且 $x_0=20$。
套用 $x_n = r^n x_0 + d\frac{r^n-1}{r-1}$，其中 $r=\tfrac{1}{2}$、$d=6$：
$$
\begin{aligned}
x_n
&= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\cdot 20 + 6,\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^n - 1}{\tfrac{1}{2}-1} \
&= 20\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} - 12\left[\left(\tfrac{1}{2}\right)^n - 1\right] \
&= 8\left(\tfrac{1}{2}\right)^n + 12.
\end{aligned}
$$
因此 $x_n\to 12$。
詮釋。 因子 $r=\frac{1}{2}$ 讓項值趨向 0，而常數輸入 $d=6$ 將整個序列往上推，直到在 $12=\frac{d}{1-r}$ 取得平衡。
9. 概念檢核與快速練習（附導引答案）
這些短題可口說或書寫，幫助鞏固概念。
檢查 1 —— 「極限」真正主張什麼？
問題。 請用自己的話說明 $\lim_{n\to\infty}x_n=a$ 的意義。
導引答案。 它表示：對任何 $\varepsilon>0$，存在一個位置，使得之後的 所有 項都落在以 $a$ 為中心、半徑 $\varepsilon$ 的區間內。前幾項可以搖擺，但最終會停留在任意小的鄰域裡。
檢查 2 —— 為什麼 $\dfrac{1}{n+1}\to 0$，即使每項都不為零？
導引答案。 因為距離 $|x_n-0|=\frac{1}{n+1}$ 可以透過取足夠大的 $n$ 變得 任意小。有極限並不要求有限步內出現等號。
檢查 3 —— 等差數列的行為
問題。 請給出一個收斂的等差數列與一個發散的等差數列。
導引答案。
- 收斂：$x_n=7$（公差 $d=0$，恆定）。
- 發散：$x_n=2+(n-1)\cdot 3=3n-1$（公差 $d=3>0$，往 $+\infty$ 成長）。
檢查 4 —— 一句話記住等比判準
問題。 哪一條檢驗可以立刻判斷（非零）等比數列是否收斂？
導引答案。 看 公比 是否滿足 $|r|<1$。若是則收斂到 0；否則發散（除非 $r=1$ 為常數；$r=-1$ 振盪）。
檢查 5 —— 遞推的平衡值
問題。 對 $x_{n+1}=r x_n + d$ 且 $|r|<1$，長期值是什麼？為什麼？
導引答案。 極限為 $L=\dfrac{d}{1-r}$。因為齊次部分 $r^{n}x_0$ 會衰減為 0，而幾何級數部分趨向 $\dfrac{d}{1-r}$。
10. 常見迷思（以及對策）
把「數列」當「集合」。
迷思： 認為順序無關緊要。
對策： 數列保留順序並允許重複；我們關心 $n$ 增加時 $x_n$ 怎麼變。把「數列」與「級數」混為一談。
迷思： 把項的列表與它們的和混淆。
對策： 本文談的是項 $x_1,x_2,\dots$，而非和 $\sum x_n$。過度重視前幾項。
迷思： 認為前段決定極限。
對策： 極限只看 尾端；修改有限多個前項永遠不會改變極限。忘記等比判準。
迷思： 面對 $x_n=x_1 r^{n-1}$ 時不知如何判斷。
對策： 記住 $|r|<1 \Rightarrow x_n\to 0$。害怕遞推。
迷思： 一見到 $x_{n+1}=r x_n + d$ 就卡住。
對策： 展開兩三步，辨識幾何級數，自然能寫出閉式。
11. 延伸練習（完全對齊原頁內容）
題 1 —— 判定並說明
對下列數列，判斷其是否收斂，並給一句理由。
(a) $x_n=\dfrac{1}{n+1}$。
(b) $x_n=(-1)^n$。
(c) $x_n=2025$。
解答提綱。
(a) 收斂到 0：取 $\varepsilon>0$，選 $N$ 使 $N+1>\dfrac{1}{\varepsilon}$。
(b) 發散：在 $-1$ 與 $1$ 之間振盪。
(c) 收斂到 $2025$：常數列。
題 2 —— 等差公式與行為
某等差數列滿足 $x_1=5$、公差 $d=-3$。求 $x_{10}$ 並描述極限行為。
解答。
$x_n=5+(n-1)(-3)=8-3n$，所以 $x_{10}=-22$。由於 $d<0$，數列發散到 $-\infty$。
題 3 —— 等比公式與行為
某等比數列滿足 $x_1=9$、$x_{n+1}=\frac{1}{3}x_n$。寫出閉式並求極限。
解答。
$x_n=9\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$。因為 $|r|=\frac{1}{3}<1$，所以 $x_n\to 0$。
題 4 —— 具有明確極限的一階遞推
解 $x_{n+1}=0.8,x_n+10$，且 $x_0=50$，並求 $\lim x_n$。
解答。
套用 $x_n = r^n x_0 + d\frac{r^n-1}{r-1}$，其中 $r=0.8,d=10$：
$$
x_n = 0.8^n\cdot 50 + 10,\frac{0.8^n-1}{0.8-1}
= 50\cdot 0.8^n - 50(0.8^n-1)
= 50.
$$
每項皆為 $50$，極限自然是 $50$。
洞見： 若初值正好在平衡點 $L=\dfrac{d}{1-r}=\dfrac{10}{0.2}=50$，遞推會讓你一直待在那裡。
題 5 —— 為什麼改動前幾項不會改變極限
解答（簡述）。
若數列收斂到 $L$，則對任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得所有 $n\ge N$ 均滿足 $|x_n-L|<\varepsilon$。若只改動有限多個前項，可取一個大於所有改動索引的 $N$；其後的尾端保持不變，因此仍落在每個 $\varepsilon$ 鄰域內，極限不受影響。
12. 一頁摘要（MATH 1010 必備重點）
- 數列 是有序列表 $x_1,x_2,\dots$，有起點無終點。
- 極限 描述尾端：觀察 $n$ 很大時的行為。
- 原頁的四個原型涵蓋多數入門情境：
- $x_n=n$：發散到 $+\infty$；
- $x_n=(-1)^n$：因振盪發散；
- $x_n=2025$：常數列，收斂；
- $x_n=\dfrac{1}{n+1}$：收斂到 0。
- 等差數列：$x_{n+1}-x_n=d$，公式 $x_n=x_1+(n-1)d$，僅當 $d=0$ 時收斂。
- 等比數列：$x_{n+1}=r x_n$，公式 $x_n=x_1 r^{,n-1}$，當且僅當 $|r|<1$（此時 $x_n\to 0$）收斂；$r=1$ 為常數，$r=-1$ 振盪。
- 一階線性遞推 $x_{n+1}=r x_n + d$（$r\neq1$）：
$$
x_n = r^{n} x_0 + d,\frac{r^{n}-1}{r-1}.
$$
若 $|r|<1$，則 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = \frac{d}{1-r}$。 - 分析流程：辨識模式 → 寫出顯式公式 → 研究尾端 → 用清楚語言給出收斂／發散結論。
掌握這些要點，你就能分析大多數入門數列、迅速計算各項，更重要的是——能以「關注尾端」的語言解釋它為何呈現該種行為。