三角函数工具箱——函数、对称性与核心恒等式

0. 总览

本讲把角度“函数化”。我们在单位圆上定义 $\sin,\cos,\tan,\csc,\sec,\cot$，梳理象限符号规律，并搭建整套恒等式工具箱。流程：

1）函数定义 → 2）周期与对称 → 3）基本恒等式 → 4）和差公式 → 5）倍角/半角 → 6）积化和差。

---

1. 六个三角函数的定义

1.1 单位圆定义（主线）

令角 $\theta$ 处于标准位置，其终边与单位圆 $x^2+y^2=1$ 相交于 $P(x,y)$。

$$\begin{aligned} \sin\theta &= y,\\ \cos\theta &= x,\\ \tan\theta &= \frac{y}{x} \quad (x \neq 0). \end{aligned}$$

倒数函数：

$$\begin{aligned} \csc\theta &= \frac{1}{\sin\theta},\\ \sec\theta &= \frac{1}{\cos\theta},\\ \cot\theta &= \frac{1}{\tan\theta} = \frac{x}{y} \quad (y \neq 0). \end{aligned}$$

定义域与值域

• $\sin\theta,\cos\theta\in[-1,1]$，对所有实数 $\theta$ 定义。
• $\tan\theta,\sec\theta$ 在 $\cos\theta=0$（奇数个 $\tfrac{\pi}{2}$）处无定义。
• $\cot\theta,\csc\theta$ 在 $\sin\theta=0$（整倍 $\pi$）处无定义。

直角三角形视角（锐角 $\theta$）：若斜边 $r$，对边 $y$，邻边 $x$，则

$$\begin{aligned} \sin\theta &= \frac{y}{r},\\ \cos\theta &= \frac{x}{r},\\ \tan\theta &= \frac{y}{x}. \end{aligned}$$

利用单位圆上的符号，即可拓展到任意角。

---

1.2 象限符号（ASTC 法则）

四象限记为 QI、QII、QIII、QIV。

• QI $(0,\tfrac{\pi}{2})$：六个函数全为正。
• QII $(\tfrac{\pi}{2},\pi)$：$\sin,\csc>0$，其余为负。
• QIII $(\pi,\tfrac{3\pi}{2})$：$\tan,\cot>0$，其余为负。
• QIV $(\tfrac{3\pi}{2},2\pi)$：$\cos,\sec>0$，其余为负。

参考角 $\theta_{\text{ref}}\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ 有助于计算，再配上象限符号即可。

---

2. 周期与对称（偶奇性）

周期

$$\begin{aligned} \sin(\theta+2\pi) &= \sin\theta,\\ \cos(\theta+2\pi) &= \cos\theta,\\ \tan(\theta+\pi) &= \tan\theta. \end{aligned}$$

因此：$\sin,\cos,\sec,\csc$ 的周期为 $2\pi$；$\tan,\cot$ 的周期为 $\pi$。

偶函数与奇函数

$$\begin{aligned} \cos(-\theta) &= \cos\theta &&(\text{偶函数}),\\ \sin(-\theta) &= -\sin\theta &&(\text{奇函数}),\\ \tan(-\theta) &= -\tan\theta &&(\text{奇函数}). \end{aligned}$$

由此 $\sec$ 为偶函数；$\csc,\cot$ 为奇函数。

余函数（互余）关系

$$\begin{aligned} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) &= \cos\theta,\\ \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) &= \sin\theta,\\ \tan\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) &= \cot\theta, \end{aligned}$$

倒数函数同理。

---

3. 基本恒等式链

3.1 勾股恒等式

由 $x^2+y^2=1\Rightarrow \cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 得

$$\begin{aligned} \sin^2\theta + \cos^2\theta &= 1,\\ 1 + \tan^2\theta &= \sec^2\theta,\\ 1 + \cot^2\theta &= \csc^2\theta. \end{aligned}$$

3.2 商式与倒数恒等式

$$\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\\ \cot\theta &= \frac{\cos\theta}{\sin\theta},\\ \sec\theta &= \frac{1}{\cos\theta},\\ \csc\theta &= \frac{1}{\sin\theta}. \end{aligned}$$

---

4. 和差公式（推导与应用）

核心记忆组

$$\begin{aligned} \sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\ \pm\ \cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\ \mp\ \sin\alpha\sin\beta,\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}. \end{aligned}$$

例：求 $\sin\left(\tfrac{5\pi}{12}\right)$
取 $\alpha=\tfrac{\pi}{3},\beta=\tfrac{\pi}{4}$。带入公式并简化，可得 $\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

陷阱提醒：和差公式的分母 $1\mp\tan\alpha\tan\beta$ 常被忽略；写公式前先记好符号配对。

---

5. 倍角与半角

由和差公式直接推得：

$$\begin{aligned} \sin(2\theta) &= 2\sin\theta\cos\theta,\\ \cos(2\theta) &= \cos^2\theta-\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1 = 1-2\sin^2\theta,\\ \tan(2\theta) &= \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}. \end{aligned}$$

半角公式以 $\cos(2\theta)$ 为起点：

$$\begin{aligned} \sin^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1-\cos\theta}{2},\qquad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2},\\ \tan\frac{\theta}{2} &= \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}. \end{aligned}$$

根据象限确定符号。

---

6. 积化和差与和差化积

把乘积化为和差，可在积分或求解方程时降阶：

$$\begin{aligned} \sin\alpha\sin\beta &= \tfrac{1}{2}\big[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\big],\\ \cos\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\big[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\big],\\ \sin\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}\big[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\big]. \end{aligned}$$

反向即可得到和差化积。

---

7. 练习方向

1. 结合单位圆图形，快速判断任意角的函数符号。
2. 熟练运用和差与倍角公式化简表达式或解方程。
3. 将恒等式用于证明题：例如将目标式变形为一边或逐步等价。
4. 做一份“速查表”放在笔记本，强化记忆。

---

本讲的目标是让你拥有一套随取随用的三角恒等式工具箱。后续的三角方程、极限、傅里叶分析等主题都会依赖这些基础，请在练习中不断复盘与应用。