基础——弧度量度、标准位置与单位圆
0. 为什么从“角度量”开始？
在三角学中，一切都建立在“转动”——射线绕点旋转的概念上。要计算长度、面积，乃至以后干净地定义正弦/余弦，就需要一种自然的角度单位。度数在日常生活很常见，但弧度才是让几何与微积分“合理工作”的单位，它把角度直接与弧长联系起来。本讲要形式化这一联系，并给出第一章余下内容所需的基础工具。
1. 弧度：角度的自然单位
1.1 中心角与弧长
设有半径为 $r$ 的圆，以及一个中心角 $\theta$（在圆心处测量）。该角对应的弧长为 $s$。弧度被定义为弧长与半径的比值：
$$
\boxed{\ \theta=\dfrac{s}{r}\ }\quad\text{（弧度）}。
$$
为何优雅？ 没有强加额外刻度——单位直接“长”在几何里。若 $r=1$（即单位圆），则 $\theta=s$：角度就等于弧长。这种一一对应使弧度不可或缺。
量纲检查。 $s$ 与 $r$ 都有长度单位，因此 $\theta$ 是无量纲的。在实际书写中仍会标注 “rad” 以提示所用单位。
1.2 一周角与弧度-度数桥梁
一周的弧长是整条圆周 $2\pi r$。将 $s=2\pi r$ 代入 $\theta=s/r$，得到
$$
\text{一周角}=2\pi\ \text{弧度}。
$$
既然一周角也等于 $360^\circ$，就得到常用换算：
$$
\boxed{\ 180^\circ=\pi\ \text{rad}\ }\quad\Longleftrightarrow\quad
\boxed{\ 1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad},\ \ 1\ \text{rad}=\frac{180}{\pi}^\circ\ (\approx57.3^\circ)}。
$$
需要背熟的转换表。
$$
\begin{array}{c|cccccccccc}
\text{度数} & 0^\circ&30^\circ&45^\circ&60^\circ&90^\circ&120^\circ&135^\circ&150^\circ&180^\circ&360^\circ\\hline
\text{弧度} & 0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\frac{2\pi}{3}&\frac{3\pi}{4}&\frac{5\pi}{6}&\pi&2\pi
\end{array}
$$
技巧提示。 度数 $\to$ 弧度：乘以 $\pi/180$。弧度 $\to$ 度数：乘以 $180/\pi$。记得把分数约成最简，方便后续在圆上定位。
2. 标准位置与符号约定
2.1 定义（标准位置）
若角的顶点在原点，始边位于正 $x$ 轴，则称角处于标准位置。逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。
- 例：$+\tfrac{\pi}{3}$ 表示逆时针 $60^\circ$；$-\tfrac{\pi}{2}$ 表示顺时针 $90^\circ$。
超越一周。角度没有上限：可以有 $\theta=5\pi$（两周半）或 $\theta=-9\pi/4$（顺时针超过两周）。除非特别说明，我们默认使用弧度。
2.2 同终边角与模 $2\pi$ 化简
若两个角在标准位置时拥有相同的终边，称它们为同终边角。恰好当且仅当它们相差 $2\pi$ 的整数倍：
$$
\theta \ \text{与}\ \theta+2\pi k\quad (k\in\mathbb Z)\ \text{同终边}。
$$
因此我们常做角的化简：给定任意 $\theta$，通过不断加减 $2\pi$，可以得到落在主值区间 $(-\pi,\pi]$ 或 $[0,2\pi)$ 内的等效角。
- 例：把 $\theta=\dfrac{29\pi}{6}$ 化到 $[0,2\pi)$。
$$
\frac{29\pi}{6}-2\pi=\frac{29\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{17\pi}{6}>2\pi,\quad
\frac{17\pi}{6}-2\pi=\frac{17\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\in[0,2\pi)。
$$
故 $\dfrac{29\pi}{6}$ 同终边于 $\dfrac{5\pi}{6}$。
3. 弧长与扇形面积
若中心角 $\theta$ 以弧度衡量，则对应弧长为
$$
\boxed{\ s=r\theta\ } \qquad(\theta\ 必须是弧度)
$$
扇形（披萨片）的面积为
$$
\boxed{\ A=\tfrac12 r^2\theta\ } \qquad(\theta\ 必须是弧度)
$$
其中 $s$ 与 $r$ 呈线性关系，$A$ 与 $r$ 呈平方关系，符合量纲推理。
推导（扇形面积）。整圆面积为 $\pi r^2$，与角度 $2\pi$ 对应。成比例得
$$
\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{\theta}{2\pi},\pi r^2=\frac12 r^2\theta.
$$
单位圆视角。 当 $r=1$ 时式子化简为：
$$
s=\theta,\qquad A=\tfrac12\theta.
$$
因此在单位圆上，角度 $\theta$ 本身就是弧长；扇形面积等于“角度的一半”。
4. 度与弧度的实战对比
黄金法则。 只要使用 $s=r\theta$ 或 $A=\tfrac12 r^2\theta$，$\theta$ 必须是弧度。若题目给的是度数，须先转换。
- 正确： $s = 10\cdot\big(60^\circ\cdot \tfrac{\pi}{180}\big)=10\cdot\tfrac{\pi}{3}$。
- 错误： $s = 10\cdot 60$（把 $60^\circ$ 当作纯 60，少了 $\pi/180$ 的因子）。
心算基准。
- $30^\circ=\pi/6\approx 0.524$ rad
- $45^\circ=\pi/4\approx 0.785$ rad
- $60^\circ=\pi/3\approx 1.047$ rad
- $90^\circ=\pi/2\approx 1.571$ rad
可用来检验数值是否合理。
5. 示范题（逐步讲解）
例 1 —— 角度与弧度互换
(a) 将 $315^\circ$ 化成弧度。
乘以 $\pi/180$：
$$
315^\circ=\frac{315\pi}{180}=\frac{7\pi}{4}。
$$
(b) 将 $-\dfrac{11\pi}{6}$ 化成度数。
乘以 $180/\pi$：
$$
-\frac{11\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi}=-\frac{11\cdot 180}{6}=-330^\circ。
$$
(c) 把 $\dfrac{23\pi}{3}$ 化到 $[0,2\pi)$（同时给出度数）。
多次减去 $2\pi=\dfrac{6\pi}{3}$：
$$
\frac{23\pi}{3}-\frac{18\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\in[0,2\pi)。
$$
化成度数：$\frac{5\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi}=300^\circ$。
例 2 —— 弧长与扇形面积
半径 $r=12\ \mathrm{cm}$ 的圆，求 $\theta=150^\circ$ 对应的弧长 $s$ 与扇形面积 $A$。
- 先换成弧度：$150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}$。
- 弧长：$s=r\theta=12\cdot\dfrac{5\pi}{6}=10\pi\ \mathrm{cm}$。
- 扇形面积：$A=\tfrac12 r^2\theta=\tfrac12\cdot 144\cdot \dfrac{5\pi}{6}=12\cdot \dfrac{5\pi}{6}=10\pi\ \mathrm{cm}^2$。
注意：此处恰好出现 $s$ 与 $A$ 数值相等，但单位不同；这不是普遍现象，只因本题 $r=12$、$\theta=5\pi/6$ 恰好让 $r\theta=\tfrac12 r^2\theta$ 数值一致。
例 3 —— 负角与大角的标准位置
画出 $\theta=-\dfrac{7\pi}{4}$ 与 $\theta=\dfrac{19\pi}{6}$ 在标准位置的图形，并找出一个落在 $[0,2\pi)$ 的同终边角。
对 $\theta=-\dfrac{7\pi}{4}$：加上一次 $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$：
$$
-\frac{7\pi}{4}+2\pi=\frac{\pi}{4}\quad(\text{落在 }[0,2\pi))。
$$
终边与 $\pi/4$ 重合（第一象限）。作图时从正 $x$ 轴沿顺时针旋转 $45^\circ$。对 $\theta=\dfrac{19\pi}{6}$：减去 $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$：
$$
\frac{19\pi}{6}-2\pi=\frac{7\pi}{6}\quad(\text{落在 }[0,2\pi))。
$$
即 $210^\circ$，终边在第三象限。
例 4 —— 单位圆视角
设 $r=1$，$\theta=\dfrac{3\pi}{2}$。
- 单位圆上的弧长：$s=\theta=\dfrac{3\pi}{2}$。
- 扇形面积：$A=\tfrac12\theta=\dfrac{3\pi}{4}$。
解释：$270^\circ$ 覆盖整个圆的四分之三，所以面积为 $ \tfrac{3}{4}\cdot \pi(1)^2 = \tfrac{3\pi}{4}$，与 $A=\tfrac12\theta$ 一致。