数列与它们的极限
数列与它们的极限
学习数列在数学中至关重要。本文将循序渐进地展开：从数列的定义、极限的直观理解、四个典型范例，到算术数列与几何数列（附显式公式），最终引出线性递推关系式 $x_{n+1}=r x_n + d$。
1. 什么是数列？
一个 实数数列 ${x_n}$ 是一个有序的列表
$$ x_1,,x_2,,x_3,,\ldots,,x_n,,\ldots $$
它有一个开始（存在首项），却没有结束（无限延续）。符号 $x_n$ 表示第 $n$ 项。
记号约定。 我们常用大括号来书写数列：
$$
\lbrace x_n \rbrace,\quad \lbrace x_n \rbrace_{n=1}^{\infty},\quad \lbrace x_n \rbrace_{n\in\mathbb{N}}.
$$
尽管写成大括号，数列并不是严格意义上的集合：顺序重要，允许重复（例如 $1,1,1,\dots$ 或 $1,2,1,2,\dots$）。
极限的核心想法。 讨论极限时，我们关注数列的 尾部：即在 $n$ 很大 时各项的表现。前几项可以“乱跳”；极限只关心故事的“结尾”。
2. 四个模型示例
原始页面给出四个例子，我们逐一拆解，像小型课堂。
2.1 $x_n = n$ —— 不断上行
数列是 $1,2,3,4,5,\dots$。每一步加 1。直觉和形式化都说明项值没有上界：
$$ \lim_{n\to\infty} n = +\infty. $$
这并 不 表示极限是实数，而是说 不存在有限极限。我们称其 **发散到 $+\infty$**。
2.2 $x_n = (-1)^n$ —— 纯粹振荡
数列是 $-1,1,-1,1,\ldots$。它在两个值之间无限跳动，从不靠近单一点，因此 不收敛，我们说它 振荡。
2.3 $x_n = 2025$ —— 平静常数列
数列是 $2025,2025,2025,\ldots$。每一项都等于 $2025$，这是最简单的收敛情形：
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = 2025.
$$
无论你走到多远，目标值始终已经在那儿。
2.4 $x_n = \dfrac{1}{n+1}$ —— 正且趋零
数列为
$$
\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots,\ \frac{1}{n+1},\ \ldots
$$
每一项都 正，且比上一项 更小。若在数轴上描点，它们从右侧越来越接近 0。虽然 没有任何有限的 $n$ 使 $x_n=0$，但显然 逼近 0：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0.
$$
观察（来自原图）：所有项都不为零，但只要往后取足够多项，距离 0 就能任意小。这正是极限的本质。
3. 收敛：“想要多接近就多接近”
原笔记用一句话很好地抓住了直觉：
当 $n$ 足够大 时，如果 $x_n$ 能 想要多接近就多接近 某个数 $a$，则数列 ${x_n}$ 收敛 于 $a$。
我们稍微放慢速度，逐句翻译：
- “想要多接近就多接近”：你先选一个容差 $\varepsilon>0$（例如 $0.1$ 或 $10^{-6}$）。我必须找到一个阶段，使得该阶段之后的所有项都与 $a$ 的距离小于 $\varepsilon$。
- “$n$ 足够大”：存在一个指标 $N$，对所有 $n\ge N$，都有 $|x_n-a|<\varepsilon$。
我们记作
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = a
\quad \text{或} \quad
x_n \longrightarrow a \quad (n\to\infty).
$$
重要提醒（原文亦强调）：我们只关心 尾部。有限个初始项的修改 不会 改变极限。极限取决于“故事的后半段”，而非开头。
4. 等差数列（公差固定）
定义（原页面）：若存在常数 $d$，使得
$$
x_{n+1} - x_n = d \quad \text{对所有 } n,
$$
则数列 ${x_n}$ 为 等差数列，常数 $d$ 称为 公差。
推导显式公式。 由首项 $x_1$ 起，每次加上 $d$：
$$
x_2 = x_1 + d,\qquad
x_3 = x_2 + d = x_1 + 2d,\qquad
\ldots,\qquad
x_n = x_1 + (n-1)d.
$$
示例（来自原页面）
$$
{19,,12,,5,,-2,,-9,\ldots}
$$
此时 $x_1=19$，$d=-7$。因此
$$
x_n = 19 + (n-1)(-7) = 26 - 7n.
$$
验证前几项：
$$
x_1 = 26-7=19,\
x_2 = 26-14=12,\
x_3 = 26-21=5,\
x_4 = 26-28=-2.
$$
长远行为。
- 若 $d>0$：$x_n\to +\infty$。
- 若 $d<0$：$x_n\to -\infty$。
- 若 $d=0$：数列恒定，因此收敛。
要点。 除了平凡的 $d=0$，等差数列不会收敛到有限极限，它们会线性地向某个方向远去。
5. 等比数列（公比固定）
定义（原页面）：若存在常数 $r$，使得
$$
x_{n+1} = r,x_n \quad \text{对所有 } n,
$$
则 ${x_n}$ 为 等比数列，$r$ 为 公比。
推导显式公式。 每一步都乘以 $r$，因此
$$
x_2 = r x_1,\quad
x_3 = r x_2 = r^2 x_1,\quad
\ldots,\quad
x_n = x_1, r^{,n-1}.
$$
示例（来自原页面）
$$
{12,,-6,,3,,-\tfrac{3}{2},,\tfrac{3}{4},\ldots}
$$
这里 $x_1=12$，$r=-\tfrac{1}{2}$。因此
$$
x_n = 12\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}
= 12,\frac{(-1)^{n-1}}{2^{,n-1}}.
$$
数值每步减半，符号交替。
长远行为。
- 若 $|r|<1$：$r^{,n-1}\to 0$，因此 $x_n\to 0$。
- 若 $|r|>1$：项值会爆炸，没有有限极限。
- 若 $r=1$：恒定数列。
- 若 $r=-1$：在两个值之间振荡，仍属发散。
要点。 对非零等比数列而言，收敛与否由 一条判据 决定：$|r|<1$。
6. 一阶线性递推：$x_{n+1}=r x_n + d$（$r\neq 1$）
原页面用“多次展开+识别几何级数”的方式推导闭式公式，我们按照相同步骤复现。
从
$$
x_n = r x_{n-1} + d. \tag{1}
$$
开始。同样展开 $x_{n-1}$：
$$
\begin{aligned}
x_n
&= r(r x_{n-2} + d) + d \
&= r^2 x_{n-2} + d r + d.
\end{aligned}\tag{2}
$$
再来一步：
$$
\begin{aligned}
x_n
&= r^2(r x_{n-3} + d) + d r + d \
&= r^3 x_{n-3} + d r^2 + d r + d.
\end{aligned}\tag{3}
$$
重复 $k$ 次后模式非常明显：
$$
x_n = r^{k},x_{n-k} + d(1+r+r^2+\cdots+r^{k-1}). \tag{4}
$$
取 $k=n$，回到初始值 $x_0$：
$$
x_n = r^{n} x_0 + d(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}). \tag{5}
$$
而当 $r\neq 1$ 时，有限几何级数求和为
$$
1+r+\cdots+r^{n-1} = \frac{r^{n}-1}{r-1}.
$$
于是得到 闭式公式
$$
\boxed{x_n = r^{n} x_0 + d\frac{r^{n}-1}{r-1}} \qquad (r\neq 1).
$$
特殊情况 $r=1$。 此时递推变为 $x_{n+1}=x_n+d$，是一条等差数列，$x_n=x_0+nd$。
6.1 如何解读公式
可以把结果拆成两个作用：
- 齐次部分 $x_{n+1}=r x_n$ 会产生 $x_n^{(h)}=C,r^{n}$。
- 常数驱动 $+d$ 累积成几何级数 $d(1+r+\cdots+r^{n-1})$。
把两者相加得到完整解。$r^n$ 决定是收缩还是扩张，几何级数部分决定累积偏移，二者共同塑造长远行为。
6.2 由公式读极限
- 若 $|r|<1$：$r^{n}\to 0$ 且 $\dfrac{r^{n}-1}{r-1}\to \dfrac{1}{1-r}$，因此
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{d}{1-r}.
$$
这给出了一个 稳定平衡点 $L=\dfrac{d}{1-r}$。 - 若 $|r|>1$：$r^{n} x_0$ 通常会主导，使数列发散（除非与第二项巧妙抵消）。
- 若 $r=-1$：视 $x_0$ 与 $d$ 而定可能振荡；尽管几何求和公式形式上假设 $r\neq 1$，闭式仍能帮助分析具体项。
7. 识别模式与判断极限——教师视角的流程
遇到新数列时，可按以下四步走：
- 识别模式。
看它是否是等差（固定公差）、等比（固定公比），或是一阶线性递推 $x_{n+1}=r x_n + d$。若都不是，是否像 $\frac{1}{n+1}$ 那样显然趋零？ - 写出显式公式。
- 等差：$x_n = x_1 + (n-1)d$；
- 等比：$x_n = x_1 r^{,n-1}$；
- 线性递推：$x_n = r^n x_0 + d\frac{r^n-1}{r-1}$（$r\neq 1$），若 $r=1$ 则 $x_n=x_0+nd$。
- 分析尾部。
观察当 $n$ 很大时的趋势：增长？衰减？振荡？还是稳定在某个水平？ - 清晰陈述结论。
用严格语言表达“收敛到……”“发散到 $+\infty$”或“因振荡发散”，并附上一句基于模式的理由（例如 “$|r|<1\Rightarrow r^n\to 0$”）。
8. 例题（与原页面相呼应并稍作扩展）
例 A —— 分类基础四例
- $x_n=n$：发散 到 $+\infty$。
- $x_n=(-1)^n$：发散，原因是振荡。
- $x_n=2025$：收敛 到 $2025$。
- $x_n=\dfrac{1}{n+1}$：收敛 到 $0$。
对 (4) 的“想要多接近就多接近”证明。
给定 $\varepsilon>0$，选择 $N$ 使 $N+1>\frac{1}{\varepsilon}$。则对所有 $n\ge N$，
$$
\left|\frac{1}{n+1}-0\right|=\frac{1}{n+1}<\varepsilon.
$$
例 B —— 页面上的等差数列
已知 ${19,12,5,-2,-9,\ldots}$，$x_1=19$，$d=-7$，
$$
x_n = 26 - 7n.
$$
行为： 发散到 $-\infty$。除非 $d=0$，等差数列不会有有限极限。
例 C —— 页面上的等比数列
已知 ${12,-6,3,-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{4},\ldots}$，$x_1=12$，$r=-\tfrac{1}{2}$，
$$
x_n = 12\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}.
$$
行为： 因为 $|r|=\tfrac{1}{2}<1$，故 $x_n\to 0$。
例 D —— 一个递推的运作
求解 $x_{n+1}=\tfrac{1}{2}x_n+6$，且 $x_0=20$。
使用公式 $x_n = r^n x_0 + d\frac{r^n-1}{r-1}$，其中 $r=\tfrac{1}{2}$、$d=6$：
$$
\begin{aligned}
x_n
&= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\cdot 20 + 6,\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^n - 1}{\tfrac{1}{2}-1} \
&= 20\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} - 12\left[\left(\tfrac{1}{2}\right)^n - 1\right] \
&= 8\left(\tfrac{1}{2}\right)^n + 12.
\end{aligned}
$$
因此 $x_n\to 12$。
解读。 因子 $r=\frac{1}{2}$ 不断把量级压向 0，而常数输入 $d=6$ 把整体上推，直到在 $12=\frac{d}{1-r}$ 附近达到平衡。
9. 概念检查与速练（附引导答案）
这些短问题可口头或书面作答，帮助巩固理解。
检查 1 —— “极限”真正宣称什么？
问题。 用你自己的话说明 $\lim_{n\to\infty}x_n=a$ 的含义。
引导答案。 这表示：对任何 $\varepsilon>0$，存在一个位置，从此之后的 所有 项都落在以 $a$ 为中心、半径 $\varepsilon$ 的区间内。前面的值可以乱跳，但最终会稳定在任意小的邻域里。
检查 2 —— 为什么 $\dfrac{1}{n+1}\to 0$，尽管每项都不为零？
引导答案。 因为距离 $|x_n-0|=\frac{1}{n+1}$ 可以通过取足够大的 $n$ 变得 任意小。要有极限并不要求在有限步内达到等号。
检查 3 —— 等差数列的行为
问题。 给出一个收敛的等差数列和一个发散的等差数列。
引导答案。
- 收敛：$x_n=7$（公差 $d=0$，恒定）。
- 发散：$x_n=2+(n-1)\cdot 3=3n-1$（公差 $d=3>0$，向 $+\infty$ 增长）。
检查 4 —— 一句话记住等比判据
问题。 哪个判据能一眼看出（非零）等比数列是否收敛？
引导答案。 看 公比 是否满足 $|r|<1$。若成立则收敛到 0；否则发散（除非 $r=1$ 为常数；$r=-1$ 振荡）。
检查 5 —— 递推的平衡值
问题。 对 $x_{n+1}=r x_n + d$ 且 $|r|<1$，长远值是多少？为什么？
引导答案。 极限为 $L=\dfrac{d}{1-r}$。因为齐次部分 $r^{n}x_0$ 会衰减为 0，而几何级数部分趋向 $\dfrac{d}{1-r}$。
10. 常见误区（以及如何避免）
把“数列”当“集合”。
误解： 认为顺序无关紧要。
纠正： 数列记住顺序，允许重复；我们关心的是 $n$ 增大时 $x_n$ 如何变化。把“数列”与“级数”混淆。
误解： 把项的列表与它们的和混为一谈。
纠正： 本文讨论的是项 $x_1,x_2,\dots$，不是求和 $\sum x_n$。过度关注前几项。
误解： 以为前面几项决定极限。
纠正： 极限取决于 尾部；改动有限多个初始项永远不会改变极限。遗忘等比判据。
误解： 面对 $x_n=x_1 r^{n-1}$ 不知是否收敛。
纠正： 牢记 $|r|<1 \Rightarrow x_n\to 0$。惧怕递推。
误解： 遇到 $x_{n+1}=r x_n + d$ 就不知所措。
纠正： 展开两三步，识别几何级数，就能写出闭式公式。
11. 扩展练习（完全对应原页面内容）
题 1 —— 判断并给出理由
对以下数列，说明其是否收敛，并给出一句理由。
(a) $x_n=\dfrac{1}{n+1}$。
(b) $x_n=(-1)^n$。
(c) $x_n=2025$。
解答提纲。
(a) 收敛到 0：取 $\varepsilon>0$，选 $N$ 使 $N+1>\dfrac{1}{\varepsilon}$。
(b) 发散：在 $-1$ 与 $1$ 间振荡。
(c) 收敛到 $2025$：常数列。
题 2 —— 等差公式与行为
某等差数列 $x_1=5$，公差 $d=-3$。求 $x_{10}$ 并描述其极限行为。
解答。
$x_n=5+(n-1)(-3)=8-3n$，因此 $x_{10}=-22$。由于 $d<0$，数列发散到 $-\infty$。
题 3 —— 等比公式与行为
某等比数列满足 $x_1=9$、$x_{n+1}=\frac{1}{3}x_n$。写出闭式并求极限。
解答。
$x_n=9\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$。因为 $|r|=\frac{1}{3}<1$，故 $x_n\to 0$。
题 4 —— 有明确极限的一阶递推
求 $x_{n+1}=0.8,x_n+10$，$x_0=50$，并求 $\lim x_n$。
解答。
套用 $x_n = r^n x_0 + d\frac{r^n-1}{r-1}$，其中 $r=0.8,d=10$：
$$
x_n = 0.8^n\cdot 50 + 10,\frac{0.8^n-1}{0.8-1}
= 50\cdot 0.8^n - 50(0.8^n-1)
= 50.
$$
每一项都等于 $50$，极限自然是 $50$。
洞见： 若初值恰好选在平衡点 $L=\dfrac{d}{1-r}=\dfrac{10}{0.2}=50$，递推会把你牢牢留在那儿。
题 5 —— 为什么改动前几项不会影响极限
解答（简述）。
若数列收敛到 $L$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得所有 $n\ge N$ 都满足 $|x_n-L|<\varepsilon$。如果我们只改动有限多个初始项，可以选一个比所有改动位置都大的 $N$。在此之后尾部保持原状，因此仍落在每个 $\varepsilon$ 邻域内，极限保持不变。
12. 一页总结（MATH 1010 必备记忆）
- 数列 是有序列表 $x_1,x_2,\dots$，有起点无终点。
- 极限 描述尾部：观察 $n$ 很大时的行为。
- 页面上的四个原型覆盖了多数初学情形：
- $x_n=n$：发散到 $+\infty$；
- $x_n=(-1)^n$：因振荡发散；
- $x_n=2025$：常数列，收敛；
- $x_n=\dfrac{1}{n+1}$：收敛到 0。
- 等差数列：$x_{n+1}-x_n=d$，公式 $x_n=x_1+(n-1)d$，仅当 $d=0$ 时收敛。
- 等比数列：$x_{n+1}=r x_n$，公式 $x_n=x_1 r^{,n-1}$，当且仅当 $|r|<1$（此时 $x_n\to 0$）收敛；$r=1$ 为常数，$r=-1$ 振荡。
- 一阶线性递推 $x_{n+1}=r x_n + d$（$r\neq1$）：
$$
x_n = r^{n} x_0 + d,\frac{r^{n}-1}{r-1}.
$$
若 $|r|<1$，则 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = \frac{d}{1-r}$。 - 分析流程：识别模式 → 写显式公式 → 研究尾部 → 用清晰语言给出收敛/发散结论。
掌握以上要点，你就能分析绝大多数入门级的数列，快速计算各项，并且——更重要的——能够用关注“尾部”的语言解释它为何会出现这种行为。